随机游走（Random Walk）是一种核心的随机过程（Stochastic Process）模型，广泛用于描述各种系统中“每一步的移动方向和步长由概率决定”的现象。
它不仅是统计物理学（如布朗运动）的基础，也是金融学（如股票价格波动模型）、生物学（如粒子扩散）、计算机科学（如图算法和机器学习）的重要工具。
1. 核心概念与定义
随机游走指的是在离散或连续的数学空间（如整数格子、二维平面、图结构）上，主体（如粒子、“蚂蚁”）在每个时间步骤上以一定的概率规则随机移动的过程。
核心特征：
- 随机性：每一步的移动方向（如向左/向右）或步长由随机变量决定，通常是均匀分布或其他已知分布。
- 无记忆性（Markov性）：主体的下一步移动只依赖于当前所在的位置，而与过去的路径无关（除非特意设计成有记忆的变体，如自回避随机游走）。
2. 主要类型
随机游走的模型非常丰富，常见的分类包括：
| 类型 | 描述 | 典型应用/特征 |
|---|---|---|
| 简单随机游走（Simple Random Walk） | 最基本的模型，通常在一维整数格子上进行，主体每一步以一定概率向左或向右移动一格。 | 经典的“醉汉行走”模型；金融学中的基础假设（股价涨跌概率相等）。 |
| 偏向随机游走（Biased Random Walk） | 移动的概率不对称，例如向右的概率为0.7，向左为0.3。 | 描述有外力或趋势的系统（如河流中的漂流物）。 |
| 连续时间随机游走 | 位置是连续的（如实数轴），步长通常服从正态分布，这种模型在极限情况下趋近于布朗运动（Brownian Motion）。 | 物理学中的粒子扩散模型。 |
| 图上的随机游走（Random Walk on Graph） | 主体在图的节点之间跳转，以一定概率从当前节点移动到邻居节点。 | PageRank算法（网页排名）；网络节点相似度计算；社交网络分析。 |
| 带重启的随机游走（Random Walk with Restart, RWR） | 在图上游走的同时，设定一定概率返回起始节点。 | 生物信息学中的蛋白质相互作用网络分析；推荐系统。 |
3. 关键性质
随机游走虽然看似混乱，但在统计上具有深刻的规律性：
- 扩散性：随机游走的方差随时间线性增长。简单地说，主体离开原点的距离会随时间变大，但并不倾向于特定方向。
- 极限定理：在一定条件下，大量独立随机游走的路径集合会趋向于正态分布（中心极限定理）。
- 稳态分布：对于图上的随机游走，经过足够长的时间后，访问每个节点的概率会收敛到一个稳定的分布（Stationary Distribution），这正是PageRank得分的数学基础。
4. 典型应用场景
随机游走的理论被广泛应用于各个学科：
- 金融学：随机游走假说（Random Walk Hypothesis）认为股票价格的走势是不可预测的，涨跌就像掷硬币一样。
- 物理学：解释布朗运动（微小粒子在流体中的无规则运动）。
- 计算机科学：
- 搜索引擎：Google的PageRank算法基于网页链接图的随机游走模型。
- 网络分析：通过随机游走评估节点重要性、社群结构或预测链接。
- 机器学习：节点嵌入（Node Embedding）算法（如DeepWalk、Node2Vec）利用随机游走生成节点序列进行学习。
总结：随机游走不仅仅是一个数学游戏，它是连接“微观随机性”与“宏观规律性”的桥梁，帮助我们在复杂系统中找到隐藏的结构和模式。
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