随机微分方程（Stochastic Differential Equations, SDE）是一种数学工具，用于描述具有随机因素的动态系统。与常微分方程（ODE）不同，SDE的解是一个随机过程，而非确定性曲线，其解具有不确定性，可能产生多种样本轨道。SDE的解通常是一个随机过程，其解本身也是一个随机过程，其形式通常包含一个或多个随机项，例如布朗运动（Wiener过程）。
SDE广泛应用于多个领域，包括金融、物理学、生物学、工程学等。例如，在金融领域，SDE用于建模股票价格、期权定价等；在物理学中，SDE用于描述受热扰动的物理系统、分子动力学等；在生物学中，SDE用于建模基因表达、生物系统中的随机波动等。
SDE的解法包括数值方法，如Euler-Maruyama方法，通过将随机积分近似为高斯随机变量，得到数值解公式。此外，SDE的解存在性和唯一性是研究的重要内容，涉及存在性定理、唯一性定理等。
SDE的解分为强解和弱解，强解依赖于具体的概率空间，而弱解则不依赖于具体的概率空间，但依赖于微小协方差矩阵。SDE的解具有马尔可夫性质，即未来状态仅依赖于当前状态，不依赖于过去状态。
SDE的数值解法和理论研究在多个领域有广泛应用，包括金融数学、统计学、物理学、人工智能等。
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