什么是点扩散函数（Point Spread Function, PSF）

点扩散函数（Point Spread Function, PSF）‍ 是光学系统、成像系统（如显微镜、望远镜、相机）和信号处理中的一个核心概念。它描述了系统对理想点光源（Infinitesimal Point Source）‍ 的响应特性。

简言之，PSF 就是一个点光源经过系统后，在像面上变成了一个光斑，这个光斑的形状和亮度分布就是 PSF 。

1. 核心定义与本质

• 定义：点扩散函数是指当成像系统的物面上有一个理想的“点”作为光源时，光线通过系统后，在像面上形成的光强（或电场强度）的空间分布函数 。
• 本质：它实际上是系统的空间域脉冲响应（Impulse Response）。如果将一个点光源（δ函数）输入系统，输出的光强分布就是 PSF 。
• 指纹概念：可以把 PSF 看作是相机或显微镜的“指纹”。它记录了系统如何将理想的清晰点“模糊”成一个光斑的规律。

2. 形状特征与影响因素

理想情况下（仅有衍射效应），PSF 通常呈现为Airy 盘（Airy Disk）的形式，即中心亮斑周围环绕着一圈圈衍射暗环。

然而，在实际应用中，PSF 的形状会受到多种因素的影响而发生畸变：

• 衍射极限：光的波动性决定了光线无法无限聚焦，导致点光源变成斑点。
• 系统像差：镜头的光学设计缺陷（如球差、彗差、像散等）会改变光斑的形状。
• 大气湍流：在天文学中，大气的扰动会显著模糊 PSF，导致星点变成拖尾或模糊斑点。
• 机械抖动：光学系统或相机的抖动会使光斑拉伸。
• 波长色散：对于宽带光源，不同波长的光会有不同的 PSF（色散），导致整体 PSF 变得更宽。

3. 数学描述与推导

PSF 与光学系统的频率响应（OTF）之间存在密切关系：

• 光学传递函数 (OTF)：描述系统在频域（空间频率）上的响应。
• PSF：是 OTF 的傅里叶逆变换（Inverse Fourier Transform）。
• 卷积性质：在成像过程中，真实物体的光场分布与 PSF 进行卷积（Convolution），最终形成模糊的图像。
  • 简单来说，，这意味着物体上的每一个点都会产生一个 PSF 形状的光斑，整个图像就是所有这些光斑的叠加 。

4. 关键参数：分辨率

PSF 的宽度直接决定了光学系统的分辨率（Resolution）：

• 分辨率定义：能够区分图像中两个不同点的最小间隔。
• 宽度指标：PSF 越窄，系统越能分辨细节；PSF 越宽，图像越模糊。
• 瑞利判据：在天文学和显微镜中，常用瑞利判据来定义分辨极限，即当两个 Airy 盘的中心峰与第一个暗环相接触时，认为它们刚好被分辨。

5. 应用场景

• 天文观测：分析星点的 PSF 形状以推断大气湍流程度或望远镜的光学性能。
• 显微成像：利用已知 PSF 对显微镜图像进行去卷积（Deconvolution），提高显微图像的清晰度和对比度。
• 图像去模糊：在图像处理领域，通过估计模糊图像的 PSF 并进行逆滤波处理，恢复原始清晰图像。
• 光学设计：工程师通过计算系统的 PSF 来评估和优化镜头或光学系统的设计。