最小角回归（Least Angle Regression, LARS）是一种用于高维数据回归和特征选择的算法，由 Bradley Efron、Trevor Hastie、Iain Johnstone 和 Robert Tibshirani 于 2004 年提出 。该算法旨在解决在特征数量远大于样本数量（p >> n）的情况下，传统回归方法（如最小二乘法）面临的过拟合和不稳定问题 。
算法原理与特点
LARS 算法结合了前向选择法和前向梯度法的优点，通过逐步调整变量系数来构建模型。其核心思想是：在每一步中，选择与当前残差方向最相关的变量，并沿该方向调整系数，直到出现新的变量与残差方向相关性相同，此时沿两个变量的角平分线方向调整系数 。这种“最小角”特性使得 LARS 在处理高维数据时具有更高的稳定性和计算效率 。
LARS 算法的主要步骤包括：
- 初始化：从零向量开始，计算残差。
- 选择变量：选择与当前残差方向相关性最大的变量。
- 调整系数：沿该方向调整系数，直到出现新的变量与残差方向相关性相同。
- 重复：重复上述步骤，直到所有变量被选入或残差足够小 。
优点与适用场景
LARS 算法在处理高维数据（p >> n）时表现出色，计算效率高，且计算复杂度与普通最小二乘法（OLS）相同 。它能够有效进行特征选择，生成稀疏模型，并支持 Lasso 回归等变体 。此外，LARS 算法在数值稳定性方面优于传统前向选择法，且在处理噪声数据时表现稳定 。
缺点与局限性
尽管 LARS 算法在高维数据中表现良好，但其对训练集中的噪声敏感，且在某些情况下可能产生不可预测的结果 。此外，LARS 算法的实现和调试可能较为复杂，尤其是在大规模数据集上 。
应用与实现
LARS 算法广泛应用于统计学、机器学习和数据挖掘领域，特别是在高维数据回归、特征选择和模型选择中 。在 Python 中，LARS 算法可通过 scikit-learn 库实现，支持多种参数调整和模型评估 。
总结
最小角回归（LARS）是一种高效、稳定且适用于高维数据的回归算法，通过逐步调整变量系数和残差方向，实现了对复杂数据的建模和特征选择。尽管存在一定的局限性，但其在高维数据处理和稀疏模型构建方面具有显著优势