什么是局部线性嵌入（LLE）

局部线性嵌入（Locally Linear Embedding,LLE）‍ 是一种经典的非线性降维算法，属于流形学习（Manifold Learning）范畴。它的核心思想是‍“局部线性，整体非线性”‍。

简单来说，LLE 认为虽然高维数据在全局上可能是复杂的非线性结构，但如果我们只看数据的一个小局部区域，这些局部区域通常可以用线性（平面）来近似。LLE 通过保留这些局部区域的线性重建关系，将数据映射到低维空间中，从而揭示数据的内在结构。

以下是 LLE 的详细介绍：

1. 核心原理

LLE 的关键假设是：在高维空间中，每个数据点都可以被其最近邻的数据点线性组合（重构）得很好。具体来说，它分为以下三个步骤：

• 寻找邻居：对于数据集中的每个点，找到它在高维空间中的最近邻居（通常使用欧氏距离）。这一步构建了一个“邻域图”。
• 计算重建权重：在高维空间中，计算每个点由其邻居线性重构时的最优权重系数。这些系数反映了点与点之间的局部线性关系。
• 低维嵌入：在低维空间中寻找新的点坐标，使得这些点在低维空间中也能保持相同的重建权重关系。也就是说，点在低维空间中依然可以由其邻居线性重构。

2. 优点

• 保留局部结构：LLE 非常擅长保留数据的局部几何结构，能够有效地展开非线性流形。
• 无监督学习：它不需要任何标签信息，完全基于数据本身的分布。
• 计算效率：与某些其他非线性降维算法（如 Isomap）相比，LLE 的计算复杂度相对较低。

3. 局限性

• 处理大规模数据慢：当数据量非常大时，计算最近邻居和特征分解的过程会变得非常慢。
• 对噪声敏感：如果数据噪声太大，或者采样不均匀，LLE 的效果会下降。
• 球面数据问题：对于均匀分布在球面上的数据，LLE 可能无法正确嵌入。

4. 相关链接

以下是一些关于 LLE 的资源链接，你可以参考了解更详细的实现和理论：

• GitHub 代码与教程：提供了 LLE 的 Python 示例代码和详细的解释。
• 经典论文：LLE 的原始论文《Nonlinear dimensionality reduction by locally linear embedding》由 Roweis 和 Saul 于 2000 年发表，是理解该算法理论的权威来源。
• CSDN 详细解析：一篇详细的博客文章，介绍了 LLE 的核心概念、算法原理以及代码示例。
• 斯坦福大学课程讲义：关于 LLE 的学术讲义，适合想深入学习机器学习理论的读者