图匹配（Graph Matching）概述
图匹配是图论中的基本概念，指在一个无向图 中选取一组边，使得任意两条选中的边不共享端点。匹配的研究主要关注以下几类：
| 类型 | 含义 |
|---|---|
| 极大匹配 | 再加入任何一条边都会破坏匹配性质的匹配。 |
| 最大匹配 | 边数最多的匹配（在所有匹配中规模最大）。 |
| 完美匹配 | 所有顶点都恰好被匹配一次的匹配。 |
| 最大权匹配 | 在满足匹配规模的前提下，使匹配边的权值之和最大。 |
这些概念在 OI‑Wiki 的图匹配章节中有系统阐述。
1. 匹配问题的分类
- 二分图匹配
二分图（两侧点集互不相连）是最常见的匹配场景。二分图的匹配可以转化为网络流问题，常用的算法包括匈牙利算法和 Hopcroft‑Karp 算法。 - 一般图匹配
对于非二分图，需要处理奇环等复杂结构，典型算法是 Edmonds 的 Blossom（花）算法，能够在多项式时间内求出最大匹配。 - 加权匹配（最大权匹配）
当每条边带有权值时，目标是使匹配的总权值最大。二分图的加权匹配常用 Hungarian（匈牙利）算法 或其改进的 KM（Kuhn‑Munkres）算法；一般图的加权匹配可以在 Blossom 框架中加入权值处理。
2. 关键算法及其核心思想
| 算法 | 适用图类型 | 主要思路 | 时间复杂度 |
|---|---|---|---|
| 匈牙利算法 | 二分图（无权或等权） | 通过寻找 增广路径（交错路径）不断扩大匹配；使用 DFS/标记实现 | |
| Hopcroft‑Karp | 二分图（无权） | 交替使用 BFS 分层 与 DFS，一次迭代可找到多条最短增广路径，显著降低迭代次数 | |
| Edmonds’ Blossom | 任意无向图 | 通过 环收缩（blossom contraction） 将奇环转化为普通增广路径，递归求解 | |
| KM（Kuhn‑Munkres）/ Hungarian（加权） | 二分图（加权） | 在匈牙利框架上加入 标签（潜在函数） 与 松弛，寻找最小费用完美匹配（等价于最大权匹配） |
增广路径（Augmenting Path）
增广路径是指起点和终点均为未匹配顶点，且路径上的边在匹配与非匹配之间交替出现。对增广路径取对称差即可使匹配规模增加 1。所有上述算法的核心都是寻找并利用增广路径。
层次图（Layered Graph）
Hopcroft‑Karp 通过 BFS 为未匹配左侧顶点构建层次结构，只在最短层次之间搜索增广路径，从而一次性找到多条增广路径，提高效率。
环收缩（Blossom Contraction）
在一般图中，奇环会阻碍增广路径的直接构造。Edmonds 提出的环收缩技术将奇环视为单个“超点”，使得原本不可增广的路径变为可增广路径。
3. 常见应用场景
- 任务分配 / 资源调度：将任务与机器、工人等两侧实体匹配，常用二分图最大匹配或最大权匹配（如作业调度、物流配送）。
- 网络设计：在通信网络中寻找不冲突的链路配对，使用匹配算法优化带宽利用率。
- 图像处理：特征点匹配（如立体视觉、图像拼接）可抽象为二分图匹配问题。
- 社交网络：推荐系统中把用户与商品、好友等进行匹配，常采用加权匹配以提升推荐质量。
- 生物信息：蛋白质相互作用网络的配对分析也可视为图匹配问题。
4. 实现要点与性能考量
- 数据结构：邻接表是处理稀疏图的首选，能够在 时间遍历邻居。
- 标记与访问数组：在 DFS/增广路径搜索中使用
visited标记防止重复遍历，提升效率。 - 层次划分：Hopcroft‑Karp 的 BFS 层次划分需要额外的队列结构，确保只在最短层次上搜索。
- 环收缩的实现：需要维护并查集（Union‑Find）来快速合并/拆分环，避免重复收缩。
- 加权匹配的数值稳定性：KM 算法中涉及潜在函数的更新，需注意浮点误差或使用整数权值。
5. 小结
- 图匹配是寻找不相交边集合的核心问题，分为 极大/最大/完美/最大权 等多种形式。
- 二分图匹配可用 匈牙利（简单实现）或 Hopcroft‑Karp（更高效）求解；一般图则依赖 Edmonds’ Blossom。
- 加权情形常用 Hungarian/KM 算法，在实际业务中广泛用于任务分配、资源调度等。
- 关键技术包括 增广路径、层次图、环收缩，以及高效的数据结构与标记机制。
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