什么是常微分方程（ODE）

常微分方程（Ordinary Differential Equation, ODE）是数学中一个重要的分支，它主要研究未知函数及其导数之间的关系。常微分方程的定义是：一个数学方程，涉及未知函数对单个独立变量的导数。与偏微分方程（PDE）不同，常微分方程仅涉及一个自变量的导数，而偏微分方程涉及多个自变量的偏导数。

常微分方程的定义可以进一步细化为：未知函数只含有一个自变量的微分方程。这意味着，常微分方程描述的是一个单自变量函数与其关于该自变量的全导数之间的关系。例如，如果未知函数是 ，自变量是 ，那么常微分方程可以表示为 ，其中  表示  对  的一阶导数， 表示二阶导数，依此类推。

常微分方程的阶数是指方程中出现的最高阶导数的阶次。例如，如果方程中最高阶导数是二阶导数，则该方程是一阶常微分方程；如果最高阶导数是三阶导数，则该方程是二阶常微分方程。常微分方程的分类还包括线性与非线性、齐次与非齐次等。

常微分方程的解法包括解析解法和数值解法。解析解法适用于特定情况，如分离变量法、积分因子法、拉普拉斯变换法等。数值解法则适用于无法解析求解的情况，如欧拉法、四阶龙格-库塔法等。

常微分方程在多个领域有广泛应用，包括物理学、工程学、生物学、经济学等。例如，牛顿第二定律、麦克斯韦方程组、种群动态模型、金融模型等都可以用常微分方程来描述和建模。

常微分方程是数学中一个重要的分支，它通过描述未知函数及其导数之间的关系，为科学研究和工程应用提供了强大的工具。